Родился 7 февраля 1985 года в Ленинграде, там же в хоккейной школе «Ижорец» начал заниматься хоккеем. Свою профессиональную карьеру в 2000 году в составе клуба Первой лиги «Ижорец». После этого отправился в Москву, где выступал за фарм-клуб московского «Динамо».

В 2003 году стал игроком клуба ТХК «Тверь», однако уже спустя 18 матчей переехал в Тольятти, где выходил на лед за вторую команду «Лады», а заканчивал сезон в самарском ЦСК ВВС. В том же году на драфте НХЛ был выбран в 4 раунде под общим 125 номером клубом «Торонто Мэйпл Лифс». В сезоне 2004/05 провёл лишь 1 матч за основной состав «Лады», дебютировав в Суперлиге. 

В 2005 году Константин подписал контракт с чеховским «Витязем», в котором провёл последующие 2,5 сезона, набрав 17 (10+7) очков в 78 матчах. Конец сезона 2007/08 Волков провёл в Высшей лиге в составе ХК «Дмитров», после чего заключил соглашение с подольской «Рысью», где в сезоне 2008/09 стал лучшим бомбардиром клуба, набрав 67 (29+38) очков в 61 проведённом матче. 

В 2009 году подписал контракт с ХК МВД. В сезоне 2009/10 вместе ХК МВД дошёл до финала Кубка Гагарина.

После расформирования клуба из Балашихи последовал примеру многих своих одноклубников и подписал контракт с московским «Динамо». Провел в составе клуба 273 матча за 6 сезонов, дважды завоевывал Кубок Гагарина и звание чемпиона России. 

Сезон 2016/17 начинал в составе московского "Динамо", но не сыграв ни одного матча, 26 сентября был выставлен на драфт отказов, с которого его никто не забрал.

30 сентября 2016 года разорвал контракт с клубом по обоюдному согласию, после чего подписал контракт с екатеринбургским "Автомобилистом". 

По окончании сезона 2016/17 завершил карьеру.

История контракта:
28.05.2010 – контракт на ? год (переход в клуб из ХК МВД).
01.05.2013 – продление контракта на 2 года.
14.05.2015 – продление контракта на 2 года.
26.09.2016 – выставлен на драфт отказов. 
30.09.2016 – расторжение контракта по обоюдному согласию. Подписание контракта с екатеринбургским «Автомобилистом».  

Игры:
08.09.2010 – Ак Барс – Динамо Москва (1:3) – 1-я игра за клуб.
20.02.2011 – Динамо Москва – Сибирь (2:1 Б) – 100-я игра в КХЛ.
01.03.2011 – Динамо Москва – Динамо Рига (3:1) – 1-я игра за клуб в плей-офф КХЛ.
17.10.2011 – Спартак – Динамо Москва (1:7) – 50-я игра за клуб.
09.10.2012 – Лев Прага – Динамо Москва (0:1) – 100-я игра за клуб.
03.10.2013 – Динамо Москва – Локомотив (1:3) – 200-я игра в КХЛ.
26.11.2013 – Динамо Москва – Металлург Новокузнецк (3:4) – 150-я игра за клуб.
08.01.2015 – Авангард – Динамо Москва (3:7) – 200-я игра за клуб.
08.09.2015 – Динамо Москва – Медвешчак (2:1) – 300-я игра в КХЛ.
23.10.2015 – Динамо Москва – Локомотив (2:4) – 250-я игра за клуб.
10.11.2015 – СКА – Динамо Москва (3:2) – 400-я игра в чемпионатах России.
17.03.2016 – СКА – Динамо Москва (2:0) – последняя игра за клуб. 

Шайбы, передачи, очки:
08.09.2010 – Ак Барс – Динамо Москва (1:3) – 1-е очко за клуб/1-я результативная передача за клуб.
12.09.2010 – Автомобилист – Динамо Москва (5:4 ОТ) – 1-я шайба за клуб.
01.03.2011 – Динамо Москва – Динамо Рига (3:1) – 1-я очко за клуб в плей-офф КХЛ/1-я результативная передача за клуб в плей-офф КХЛ
12.10.2011 – Югра – Динамо Москва (0:4) – 1-я победная шайба за клуб.
06.02.2012 – Динамо Москва – Сибирь (5:3) – 50-е очко в КХЛ.
04.03.2012 – Динамо Минск – Динамо Москва (1:3) – 1-я шайба за клуб в плей-офф КХЛ.
31.10.2012 – Динамо Москва – Донбасс (4:2) – 1-й дубль в чемпионатах России.
31.10.2013 – Ак Барс – Динамо Москва (3:2) – 2-й дубль за клуб.
07.01.2014 – Динамо Москва – Автомобилист (3:2) – 3-й дубль за клуб.
17.01.2015 – Слован – Динамо Москва (0:2) – 100-е очко в КХЛ.
05.12.2015 – Динамо Москва – ЦСКА (2:1 Б) – 50-я шайба в КХЛ.
24.12.2015 – Трактор – Динамо Москва (4:3) – последняя шайба за клуб.
10.01.2016 – Динамо Москва – Динамо Рига (2:1) – последнее очко за клуб.

Рекорды (клуб):
6 плей-офф КХЛ – рекордсмен по участиям в плей-офф КХЛ (на начало сезона 2016/17).

Звания:
17.05.2012 приказом №87НГ Министерства спорта, туризма и молодежной политики присвоено звание «Мастер спорта международного класса».