Воспитанник тюменского хоккея  Дмитрий Шитиков начал свою профессиональную карьеру в 2004 году в составе минского «Динамо», выступая до этого за его фарм-клуб, а также вторую команду московского ЦСКА. Конец сезона 2004/05 провёл в хабаровском «Амуре», который в то время выступал в Высшей лиге, после чего подписал контракт с московским «Динамо». За 5 сезонов в составе москвичей провёл 279 матчей, в которых он набрал 75 (44+31) очков, став также в 2006 году обладателем Кубка европейских чемпионов.
 
11 июня 2010 года Дмитрий наряду с Денисом Денисовым и Дмитрием Воробьёвым заключил трёхлетнее соглашение с петербургским СКА. Тем не менее, карьера в армейском клубе у не задалась, и после 29 матчей он был командирован в клуб ВХЛ ХК ВМФ, в составе которого он набрал 20 (13+7) очков в 17 проведённых матчах.

25 июня 2011 года подписал контракт с мытищинским «Атлантом». Однако, так и не проведя в составе подмосковного клуба ни одного матча, ещё до начала сезона 2011/12 расторг своё соглашение с «Атлантом» и перешёл в череповецкую «Северсталь».  В череповецком клубе, однако, Дмитрий заиграть также не сумел, в 20 проведённых матчах набрав лишь 1 (1+0) очко, и 2 декабря он покинул клуб и вновь подписал контракт с «Амуром».
 
В составе сборной России принимал участие в юниорских чемпионатах мира 2003 и 2004 годов, на первом из которых он вместе с командой завоевал бронзовые награды, а второй принёс ему звание чемпиона. На этих турнирах Дмитрий провёл 12 матчей, в которых он набрал 12 (7+5) очков.

Третий призёр чемпионата мира U18 2003

Чемпион мира U18 2004

Обладатель Кубка европейских чемпионов 2006

Обладатель Кубка Шпенглера: 2008, 2010

28 апреля 2010 года
Защитники Карел Рахунек, Дмитрий Воробьев, а также нападающие Иржи Гудлер и Дмитрий Шитиков договорились с руководством клуба расторгнуть контракты по обоюдному согласию.