Воспитанник нижнетагильского хоккея.

Начал свою профессиональную карьеру в 2007 году в клубе Высшей лиги «Газовик», поиграв до этого в молодёжном составе тюменского клуба.

3 января 2010 года Александр дебютировал в КХЛ в составе хабаровского «Амура», а спустя неделю в матче против новокузнецкого «Металлурга» набрал свой первый результативный балл в лиге. В составе «Амура» Осипов сумел прочно закрепиться в «основе», а в октябре 2010 года получил звание лучшего новичка месяца в КХЛ.

15 мая 2011 года, став по итогам сезона 2010−11 лучшим бомбардиром клуба среди защитников и установив снайперский рекорд команды «Амур» для игроков обороны, Александр заключил новое двухлетнее соглашение с хабаровчанами.

30 мая 2013 года Осипов заключил соглашение сроком на три года с казанским «Ак Барсом».

В московское «Динамо» защитник перешел 24 сентября 2014 года в обмен на денежную компенсацию казанскому клубу.

25 октября 2016 года обменен в омский "Авангард" на Андрея Кутейкина.

История контракта:
24.09.2014 – переход в клуб в результате обмена из казанского «Ак Барса» на денежную компенсацию.
02.04.2016 – продление контракта на 1 год.
25.10.2016 – обмен в омский «Авангард» на защитника Андрея Кутейкина. 

Игры:
02.10.2014 – Динамо Москва – Локомотив (2:4) – 1-я игра за клуб.
27.02.2015 – Динамо Москва – Локомотив (3:1) – 1-я игра за клуб в плей-офф КХЛ.
05.03.2015 – Динамо Москва – Локомотив (7:3) – 50-я игра за клуб.
10.11.2015 – Витязь – Динамо Москва (0:1) – 200-я игра в КХЛ.
25.01.2016 – Сибирь – Динамо Москва (2:3 Б) – 100-я игра за клуб.
22.10.2016 – Югра – Динамо Москва (0:1) – последняя игра в клубе. 

Шайбы, передачи, очки:
02.10.2014 – Динамо Москва – Локомотив (2:4) – 1-е очко за клуб/1-я результативная передача за клуб.
05.10.2014 – Динамо Москва – Сочи (2:1 ОТ) – 1-я шайба за клуб/1-я победная шайба за клуб.
03.03.2015 – Локомотив – Динамо Москва (0:3) – 50-я шайба московского «Динамо» в ворота ярославского «Локомотива» в КХЛ/1-я шайба за клуб в плей-офф КХЛ/1-е очко за клуб в плей-офф КХЛ/1-я победная шайба за клуб в плей-офф КХЛ.
16.01.2016 – Медвешчак – Динамо Москва (2:1) – 50-я результативная передача в КХЛ.
18.02.2016 – ЦСКА – Динамо Москва (1:3) – 100-е очко в КХЛ.
09.03.2016 – Динамо Москва – СКА (4:3 2ОТ) – 50-я шайба в чемпионатах страны – вошел в клуб Вячеслава Фетисова.
08.09.2016 – Ак Барс – Динамо Москва (4:1) – последнее очко за клуб. 

Личные достижения (клуб):
28.02.2016 – Динамо Москва – Сочи (1:0 2ОТ) – 27 минут 19 секунды – личный рекорд по времени, проведенном на льду в матче КХЛ за клуб.

Итого:
В 128 играх забросил 13 шайб и сделал 26 результативных передач, дважды доходя с московским «Динамо» до ¼ финала кубка Гагарина.