Начал свою профессиональную карьеру в 2008 году в составе медногорского клуба Первой лиги «Металлург», выступая до этого за фарм-клуб родного челябинского «Трактора». Проведя лишь два матча в составе медногорской команды, Егор стал игроком орского клуба Высшей лиги «Южный Урал», где за оставшуюся часть сезона набрал 9 (4+5) очков в 21 матче.

Перед началом сезона 2009/10 Дугин был приглашён в основной состав челябинского «Трактора», где 13 сентября 2009 года в домашнем матче против мытищинского «Атланта» он и дебютировал в КХЛ, а четыре дня спустя в игре с петербургским СКА набрал своё первое очко в КХЛ, сделав результативную передачу. Всего в том году в 43 проведённых матчах он сумел набрать 2 (0+2) очка, также выступая в Молодёжной хоккейной лиге в составе клуба «Белые Медведи».

После следующего сезона, в котором Егор набрал 3 (1+2) очка в 16 матчах, руководство уральского клуба приняло решение командировать его в челябинский клуб ВХЛ «Мечел», однако уже в середине сезона 2011/12, находясь в ранге второго бомбардира лиги, он вернулся в КХЛ.

18 декабря 2013 года стал игроком московского "Динамо".

Часть сезона 2015/16 провел в аренде во владивостокском "Адмирале".

4 июля 2017 года – расторжение контракта и присвоение статуса НСА решением КХЛ и Совместной Дисциплинарной палатой ФХР.

История контракта:
18.12.2013 – переход в клуб в результате обмена с челябинским «Трактором» на денежную компенсацию. 
07.04.2014 – продление контракта на 3 года. 
13.10.2015 – обмен во владивостокский «Адмирал» на выбор на драфте.
04.05.2016 – возвращение в клуб из владивостокского «Адмирала» в результате обмена на денежную компенсацию. 
31.05.2017 – продление контракта на 1 год. 
04.07.2017 – освобождение от статуса «Закреплен за клубом» и присвоение статуса НСА решением КХЛ и Совместной Дисциплинарной палатой ФХР. 

Игры:
27.12.2013 – Медвешчак – Динамо (0:5) – 1-я игра за клуб. 
17.09.2015 – Йокерит – Динамо Москва (2:1) – 50-я игра за клуб.
08.12.2016 – СКА – Динамо Москва (2:1 Б) – 250-я игра в чемпионатах России. 
21.02.2017 – Динамо Москва – Торпедо (1:0 ОТ) – последняя игра за клуб.

Шайбы, передачи, очки:
27.12.2013 – Медвешчак – Динамо (0:5) – 1-е очко за клуб / 1-я результативная передача за клуб.
17.01.2014 – Атлант – Динамо (2:3) – 1-я шайба за клуб.
23.11.2016 – Трактор – Динамо Москва (1:2 ОТ) – 1-я шайба в овертайме в чемпионатах России/1-я шайба в овертайме за клуб/последняя шайба за клуб.  
31.01.2017 – Медвешчак – Динамо Москва (3:6) – последнее очко за клуб. 

Личные достижения (клуб):
15.09.2016 – Динамо Москва – Сочи (1:2) – 18 минут 39 секунд – личный рекорд по времени, проведенном на льду в матче за клуб в КХЛ.

Примечание:
В 2009 году привлекался в сборную России U20 для участия в Кубке Тюменского региона. 
В составе «Трактора-90» становился чемпионом России и обладателем Кубка европейских чемпионов среди юношей до 16 лет.