В детстве мечтал стать футболистом. За исполнением своей мечты он пришел в секцию футбола, но на дворе стояла зима,  а в это время, как по волшебству, рядом с его домом в Перово построили новенький хоккейный стадион «Вымпел». Долго раздумывать над своим выбором не стал. Тем более его мама – бывшая легкоатлетка – очень хотела, чтобы сын стал спортсменом, и с удовольствием каждый день водила его на тренировки.

Позже оказался  в ЦСКА, в котором отыграл  четыре сезона. Входил в сборную Москвы, где и сдружился со своими ровесниками из «Динамо». В 2006 году, получив предложение от тренера бело-голубых Равиля Валиулина, без раздумий перешел в динамовскую школу. Играл в первом звене, был одним из лидеров в своем возрасте. По окончании школы был зачислен в состав молодежной команды «Динамо».

Накануне первого сезона Молодежной хоккейной лиги принял участие в промо-кампании Лиги, став ее лицом. Но вскоре дебютировал в основном составе московского «Динамо», и в молодежной команде играл лишь периодически.

- Я на Авцина рассчитываю, говорил  главный тренер бело-голубых Сергей Котов. Игрок он фактурный. Когда первый раз Сашу увидел со спины – вылитый Матс Сундин. Мы теперь его в шутку так и называем.

Пришедший на смену Котову Андрей Хомутов присматривался к Авцину на протяжении месяца, и полноценное игровое время молодой хоккеист начал получать лишь в конце ноября.

Первую же шайбу в КХЛ форвард забросил в середине декабря, когда кистевым броском поразил ворота нижнекамского голкипера Вадима Тарасова, а спустя два дня от Авцина пострадал и вратарь СКА Максим Соколов. Неудивительно, что после этого Авцина  признали лучшим новичком 13-й недели регулярного чемпионата КХЛ.

Однако в середине января 2010 года в матче против екатеринбургского «Автомобилиста» нападающий получил тяжелую травму руки, и на льду больше не появлялся.

2 июля 2010 года расторг по обоюдному согласию свой контракт с клубом и подписал трехлетний контракт с «Монреалем». При этом было заключено юридическое соглашение о том, что в случае возвращения Авцина в систему КХЛ, хоккеист обязан будет заключить контракт с московским «Динамо». Александр планировал отправиться в тренировочный лагерь «Монреаль Канадиенс» и играть в фарм-клубе «Канадиенс» «Гамильтон Булдогс», если бы не получилось выбиться в состав первой команды.

В 2013 году вернулся на Родину в ярославский «Локомотив», после чего в этом же сезоне переехал во Владивосток в расположение «Адмирала».

В сезоне 2014/15 играл в клубах ВХЛ «Липецк» и «Дизель».

C 2015 года выступал в системе за московское «Динамо».

10 октября 2016 года обменян в череповецкую "Северсталь" на денежную компенсацию.

История контракта:
Июль 2009 – переход в главную команду из Динамо-2.
Июль 2010 – расторжение действующего контракта с «Динамо» и переход в команду НХЛ «Монреаль Канадиенс».
01.05.2015 – двусторонний контракт КХЛ/ВХЛ на 2 года (переход в клуб из команды ВХЛ «Дизель» Пенза).

Игры:
26.09.2009 – Торпедо – Динамо Москва (2:1) – 1-я игра за клуб/1-я игра в КХЛ.
28.10.2015 – ЦСКА – Динамо Москва (3:2) – 50-я игра в КХЛ.
15.03.2016 – Динамо Москва – СКА (1:4) – 1-я игра за клуб в плей-офф КХЛ/1-я игра в плей-офф чемпионатов России/1-я игра в плей-офф КХЛ.

Шайбы, передачи, очки:
12.10.2009 – Металлург Магнитогорск – Динамо Москва (2:5) – 1-е очко за клуб/1-е очко в КХЛ/1-я результативная передача за клуб/1-я результативная передача в КХЛ.
11.12.2009 – Динамо Москва – Нефтехимик (4:0) – 1-я шайба за клуб/1-я шайба в КХЛ.
26.09.2015 – Динамо Москва – Нефтехимик (3:0) – 150-я шайба московского «Динамо» в ворота нижнекамского «Нефтехимика» в истории чемпионатов страны.