Александр Юньков начал свою профессиональную карьеру в 1999 году в составе клуба Высшей лиги «ТХК Тверь», выступая до этого за фарм-клуб московского «Динамо». В 2001 году Александр перешёл в самарский ЦСК ВВС, с ходу став одним из лучших бомбардиров клуба, набрав в 56 матчах 37 (20+17) очков. Своей игрой он вновь привлёк внимание руководителей «Динамо», в котором и дебютировал в следующем сезоне в Суперлиге. Однако, проведя в составе москвичей лишь 5 матчей, он вернулся в Самару.
 
Перед началом сезона 2003/04 Юньков подписал контракт с латвийским клубом «Металургс», в составе которого завоевал бронзовые медали местного чемпионата, став одновременно лучшим распасовщиком серии плей-офф. В 2004 году Александр перешёл в чеховский «Витязь», внеся значительный вклад в успех команды, которая по итогам чемпионата Высшей лиги завоевала повышение в классе. В конце того сезона Юньков также провёл 2 встречи в составе родного воскресенского «Химика».
 
В сезоне 2005/06 Александр выступал в московском «Спартаке». В 2006 году он подписал контракт с череповецкой «Северсталью», после чего ещё на 2 года вернулся в «Спартак». В середине сезона 2008/09, несмотря на слухи об интересе к нему со стороны астанинского «Барыса», Юньков перешёл в хабаровский «Амур», с которым сразу же по окончании сезона продлил контракт ещё на один год.
 
21 октября 2010 года Александр заключил соглашение с челябинским «Трактором». Однако, проведя в составе уральского клуба лишь 3 матча, Юньков расторг контракт с челябинцами по обоюдному согласию сторон. 5 ноября 2010 года было официально объявлено о возвращении Александра в московский «Спартак».