Родился в Саратове 14 января 1982 года. Выпускник СДЮСШ «Кристалл» (Саратов).

Начал свою профессиональную карьеру в 1999 году в составе московского ЦСКА. В составе «армейцев» выступал до 2002 года, набрав за это время 4 (3+1) очка в 55 проведённых матчах. В середине сезона 2002/03 Великов стал игроком воскресенского «Химика», который выступал в Высшей лиге. В составе воскресенцев Максим провёл 27 матчей, в которых он не набрал ни одного очка, после чего принял предложение родного саратовского «Кристалла».  В составе родного клуба Великов, наконец, сумел выйти на высокий уровень, в 82 матчах набрав 21 (12+9) очко.

Благодаря этому успеху в середине сезона 2004/05 он заключил соглашение с одним из сильнейших клубов Высшей лиги ХК МВД. В первом же сезоне в составе подмосковного клуба Максим вместе с командой завоевал право выступать в элитном российском дивизионе, а в сезоне 2009/10 ХК МВД стал главной сенсацией турнира — клуб лишь в финале уступил казанскому «Ак Барсу» со счётом 3:4.
 
Сразу после серебряного сезона подмосковный клуб был расформирован, и Максим наряду с 16 своими одноклубниками подписал контракт с московским «Динамо». В своём дебютном сезоне в составе москвичей провёл на площадке 25 матчей, в которых он набрал 6 (4+2) очков, после чего руководство клуба приняло решение продлить соглашение с игроком. В следующем сезоне Максим по причине травмы принял участие лишь в 17 матчах «Динамо», внеся, тем не менее, свой вклад в завоевание клубом своего первого Кубка Гагарина.

В сезоне 2010-2011 годов несколько матчей провел в качестве крайнего нападающего из-за большого количества травм в команде.

В сезоне 1999/2000 стал, выступая за ЦСКА-2, самым результативным защитником в 1-ой Лиге. Выступал в ЦСКА под номером 33. 

Рекордсмен в истории клуба ХК МВД среди защитников с 37 передачами за сезон.

17 мая 2012 года приказом №87НГ Министерства спорта, туризма и молодежной политики присвоено звание "Мастер спорта международного класса".