Александр Уваров родился в поселке Одоев Тульской области. Как и все мальчишки, с детства увлекался футболом и хоккеем с мячом. Начал играть в хоккей с мячом в 1937 в Москве в детской команде «Торпедо». С 1941 — в Советской Армии. Участник Великой Отечественной войны.

Вернувшись с фронта, он продолжил заниматься спортом, и вскоре в его жизни появилось московское "Динамо", одним из лучших игроков которого он по праву считается до сих пор.

В составе бело-голубых Уваров дебютировал в 1948 году в третьем чемпионате СССР и сходу зарекомендовал себя как блестящий нападающий. В своём первом сезоне Александр Николаевич забросил 16 шайб, став вторым по результативности в составе своего клуба. Однако это не помогло динамовцам обогнать армейцев из ЦДКА и "лётчиков" из ВВС. Следующий сезон стал как для "Динамо", так и для самого Уварова более удачным. Бело-голубые сделали шаг вперёд и финишировали уже вторыми, по-прежнему оставив впереди ЦДКА, а форвард с 20 шайбами оказался лидером атак своей команды. После этого Александр Уваров со своими партнёрами ещё дважды поднимался на третью ступень пьедестала почёта по итогам сезона, а также один раз выиграл серебро.

И вот наступил 1954 год, в котором динамовцам наконец-то удалось прервать победное шествие ВВС и ЦДСА и после семилетнего перерыва вновь получить право называться сильнейшими в Союзе. Именно тройка Александр Уваров – Юрий Крылов – Валентин Кузин внесла решающий вклад в триумф бело-голубых. На счету этого трио 53 шайбы из 118, заброшенных командой в турнире, а сам Уваров с 24 голами занял третье место в споре снайперов за лидерство, уступив только ленинградцу Беляю Бякишеву и Алексею Гурышеву из "Крыльев Советов".

Аркадий Чернышёв и Владимир Егоров не могли не пригласить такого игрока в сборную СССР. Причём в сборную Уваров попал не один, а вместе со своими привычными партнёрами по "Динамо". Таким образом, Александр Николаевич вошёл в историю, приняв участие в первом матче национальной команды. Произошло это событие 29 января 1954 года в финском Тампере. Советские хоккеисты уверенно переиграли хозяев (8:1). К сожалению, в той встрече Уварову лично отличиться было не суждено. Зато в двух играх - со сборными ГДР, которые стали первыми для национальной команды, проведёнными на родном столичном льду, нападающий отметился сразу пятью шайбами.

Отличился Уваров и в первом официальном поединке советской сборной на чемпионате мира. Сборная Финляндии не смогла оказать достойного сопротивления нашим хоккеистам (1:7), форвард "Динамо" оформил дубль. За победу в Стокгольме Уваров с партнёрами удостоились звания заслуженных мастеров спорта.

В следующем сезоне Александр Николаевич вновь превысил свою снайперскую планку. От клюшки нападающего "Динамо" шайба 27 раз попадала в ворота соперников, но итоговый результат бело-голубых (3-е место) вряд ли порадовал Уварова, а потому и радости от личных достижений хоккеист не испытал. Не оправдал ожиданий и чемпионат мира - 1955. Советские хоккеисты сделали шаг назад по сравнению с прошлогодним результатом, уступив в решающем матче сборной Канады (0:5), а Уваров забросил лишь два гола в восьми встречах.

Неудача 1955 года мобилизовала наших хоккеистов в преддверии следующего сезона, в котором сборная СССР дебютировала на Олимпийских играх. В итальянском Кортина д’Ампеццо команда Чернышёва и Егорова одержала победы во всех восьми матчах. Причём Уваров проявил себя и в первом матче советской команды на Олимпиаде. Центрфорвард "Динамо" забросил три шайбы в ворота хозяев Игр, и наша сборная одержала убедительную победу (10:2). В сумме Уваров забросил четыре шайбы в семи встречах. Эта Олимпиада стала кульминацией карьеры тогда уже 34-летнего хоккеиста.

После триумфа в Италии Александр Николаевич ещё некоторое время оставался лидером "Динамо" и даже принял участие в чемпионате мира 1957 года в Москве, однако более молодые партнёры постепенно отвоёвывали право на место в составе сборной. А после московской неудачи (второе место после золота Олимпиады было, безусловно, расценено как неудача) Уваров так больше и не надел форму сборной СССР. Да и на самом турнире зрители уже не увидели привычного Уварова, во многом из-за того что нападающий "Динамо" выступал без своих привычных партнеров: Кузина и Крылова.

Тренерский штаб советской команды так и не смог найти ветерану напарников, с которыми он показал бы себя как в былые годы. За короткий турнир Уваров успел поиграть и вместе с Бобровым и Бабичем, и вместе с Гурышевым и Хлыстовым, и вместе с Гребенниковым и Костаревым, но так и остался без голов. Да и в "Динамо" на первые роли стали выходить молодые Станислав Петухов и Владимир Юрзинов. И в итоге в 1960 году капитан бело-голубых Александр Уваров завершил игровую карьеру.

Он занялся тренерской работой, какое-то время был главным тренером нижегородского "Торпедо". К сожалению, на этом поприще ему не удалось достичь серьёзных результатов. Но его личный рекорд – 16 хет-триков – до сих пор считается лучшим и не превзойдён ни одним хоккеистом московского "Динамо".

С 1941 года в Советской Армии. Участник Великой Отечественной войны.

С 1966 года трудится слесарем на заводе в Москве.