Родился 9 апреля 1988 года в Ярославле. Хоккеем начал заниматься в 1995 году, воспитанник ярославского «Локомотива».
Выступал за его молодёжные команды «Локомотив»-2 (2005-2007) и «Локо» (2010).

В 2007—2010 годах играл за «Южный Урал» в Высшей лиге. В конце сезона 2009/2010 отозван в играющий в КХЛ «Локомотив», в составе которого в том сезоне выходил на лёд в 4 играх и пропустил 1 шайбу.

14 декабря 2010 года в результате обмена на Александра Вьюхина стал игроком новокузнецкого «Металлурга». «Металлург» не попал в плей-офф и Лазушин в конце сезона будет играть за его аффилированный клуб — ангарский «Ермак», выступающий в Высшей лиге.

31 января 2013 года перешел в московское «Динамо».

30 мая 2017 года было объявлено о расторжении контракта по инициативе клуба.

История контракта:
31.01.2013 – контракт на 2 года (переход в клуб в результате обмена из новокузнецкого «Металлурга»).
13.04.2015 – продление контракта на 3 года.
30.05.2017 – расторжение контракта по инициативе клуба.

Игры:
19.09.2013 – Динамо Рига – Динамо Москва (3:2 Б) – 1-я игра за клуб/1-я игра с серией буллитов за клуб.
09.01.2014 – Динамо Москва – Югра (2:3 Б) – 100-я игра в КХЛ.
27.02.2015 – Динамо Москва – Локомотив (3:1) – 1-я игра за клуб в плей-офф КХЛ.
15.09.2015 – СКА – Динамо Москва (2:4) – 50-я игра за клуб.
17.10.2015 – Динамо Москва – Авангард (2:1 ОТ) – 150-я игра в КХЛ.
14.02.2017 – Динамо Москва – Амур (3:2) – последняя игра за клуб.

Победы:
05.10.2013 – Динамо Москва – Спартак (2:1) – 1-я победа за клуб.
27.02.2015 – Динамо Москва – Локомотив (3:1) – 1-я победа за клуб в плей-офф КХЛ.
26.09.2015 – Динамо Москва – Нефтехимик (3:0) – 50-я победа в КХЛ.
08.01.2016 – Йокерит – Динамо Москва (2:3 Б) – 1-я победа в серии буллитов за клуб.
14.02.2017 – Динамо Москва – Амур (3:2) – последняя победа в клубе.

Матчи на «0»:
23.10.2013 – Динамо Москва – Динамо Минск (4:0) – 1-й матч на «0» за клуб.
17.09.2014 – Динамо Москва – Металлург Магнитогорск (0:1 ПБ) – 2-й матч на «0» за клуб.
17.01.2015 – Слован – Динамо Москва (0:2) – 3-й матч на «0» за клуб.
22.01.2015 – Динамо Москва – Нефтехимик (2:0) – 4-й матч на «0» за клуб.
28.01.2015 – Динамо Москва – Сочи (3:0) – 5-й матч на «0» за клуб.
30.01.2015 – Динамо Москва – Локомотив (1:0) – 6-й матч на «0» за клуб.
03.03.2015 – Локомотив – Динамо Москва (0:3) – 7-й матч на «0» за клуб/1-й матч на «0» в плей-офф КХЛ.
07.03.2015 – Локомотив – Динамо Москва (0:4) – 8-й матч на «0» за клуб.
26.09.2015 – Динамо Москва – Нефтехимик (3:0) – 9-й матч на «0» за клуб.
09.10.2015 – Лада – Динамо Москва (0:5) – 10-й матч на «0» за клуб.
15.10.2015 – Динамо Москва – Югра (2:0) – 11-й матч на «0» за клуб.
31.08.2016 – Динамо Москва – Металлург Новокузнецк (5:0) – 12-й матч на «0» за клуб.  
28.10.2016 – Динамо Москва – Йокерит (3:0 – 13-й матч на «0» за клуб/последний матч на «0» за клуб.

Результативные передачи: 
05.10.2013 – Динамо Москва – Спартак (2:1) – 1-я результативная передача в КХЛ/1-я результативная передача за клуб.
26.10.2013 – Динамо Москва – Сибирь (5:1) – 2-я результативная передача за клуб.
22.01.2015 – Динамо Москва – Нефтехимик (2:0) – 3-я результативная передача за клуб.
01.09.2015 – Динамо Москва – Адмирал (3:4 Б) – 4-я результативная передача за клуб.
01.10.2016 – «Северсталь» – «Динамо» Москва (2:1) – 5-я результативная передача за клуб/последняя результативная передача за клуб.

Сезонные достижения (КХЛ):
2014-2015 – лучший голкипер регулярного сезона по проценту отраженных бросков (94.6%).
2014-2015 – второй голкипер регулярного сезона по коэффициенту надежности (1.45).
2014-2015 – четвертый голкипер регулярного сезона по матчам на «0» (5 игр).

Достижения (КХЛ):
02.02.2015 КХЛ признала лучших игроков 21-ой игровой недели: лучшим вратарем был признан Александр Лазушин, в двух матчах дважды сыгравший «на ноль»
03.03.2014 КХЛ признала лучших игроков января: лучшим вратарем был признан Александр Лазушин, в 6 встречах 4 раза сыгравший «на ноль», отразив 98,61 процента бросков при среднем количестве пропущенных шайб 0,4 за матч.
11.03.2015 КХЛ признала лучших игроков первого раунда Кубка Гагарина: лучшим вратарем признан Александр Лазушин, в 6 встречах дважды отыгравший «на ноль», отразив 94,87 процентов бросков при коэффициенте надежности 1,30 за игру

Рекорды (клуб):
03.03.2015 – Локомотив – Динамо (0:3) - самый молодой сухой матч в плей-офф КХЛ – 26 лет 11 месяцев.
213:52 – самая продолжительная домашняя «сухая» серия в регулярном чемпионате КХЛ (сезон 2014/2015: 20.01.2015 – 20.02.2015)

Карьерные достижения (клуб):
13 матчей на «0» - 2-е место в истории клуба по матчам на «0» в КХЛ.
1,821 – 3-е место по коэффициенту надежности в истории клуба.

Командные достижения (клуб):
11 матчей на «0» – клубный рекорд в КХЛ по матчам на «0» в регулярном чемпионате (сезон 2016/2017 вместе с Александром Еременко)
213:16 – самая продолжительная домашняя «сухая» серия в регулярном чемпионате КХЛ (сезон 2014/2015: 20.01.2015 – 01.02.2015) вместе с Александром Еременко

Звания:
20.05.2013 приказом №58НГ Министерства спорта, туризма и молодежной политики присвоено звание "Мастер спорта России"