Константин Курашов начинал заниматься хоккеем в ЦСКА. Костя с детства любил хоккей безумно и других видов спорта для него не существовало. Ничем особым, по сравнению с ребятами, не отличался, если не считать, что был покрупнее. Может, поэтому Курашову потом и определили место защитника.

Но это было не в ЦСКА, откуда отсеяли, а в «Динамо», куда Константина послал, видя его мальчишеское горе, тренер, известный в ту пору армейский защитник Владимир Брежнев. В «Динамо» Курашов прошел все ступеньки детского и юношеского хоккея. В начале своей спортивной карьеры Константин Курашов считался перспективным защитником и регулярно вызывался в молодежные и юниорские сборные СССР.

В 1979 году он выиграл бронзовые медали юниорского чемпионата мира, а спустя год в аналогичном турнире завоевал золото. В 1981 году Курашов был приглашен на молодежное первенство мира в ФРГ. Турнир официально проводился с 1977 года, и советская сборная на нем неизменно занимала первое место. На чемпионате 1981 года советские хоккеисты стали только третьими, уступив финнам (3:6) и шведам (2:3), а год спустя и вовсе остались без медалей, финишировав четвертыми, но за взрослую национальную команду так ни разу и не сыграл.

Постоянно тренировался с командой мастеров. Выходил на лед с Васильевым, Мальцевым, другими известными хоккеистами. Но места в составе молодому защитнику не нашлось. И тогдашний старший тренер «Динамо» Владимир Киселев направил Курашов еще дальше – в Минск, в «динамовский» клуб 1-й лиги.

Из минской “ссылки” (Константин тогда играл и одновременно служил в армии) вернулся в …московские «Крылья Советов». И не когда не жалел об этом. Здесь Курашов вырос, возмужал, здесь учился премудростям жизни, провел в команде девять сезонов, которая стала для него родной. В составе «Крылышек» защитник становился Обладателем Кубка Шпенглера (1983), Бронзовым призёром чемпионата страны (1989, 1991) и Обладателем Кубка Лиги (1989). В 1989 году в составе «Крыльев Советов» Курашов принимал участие в серии матчей с клубами НХЛ, а в 1990 году защитник играл против команд НХЛ уже за подмосковный «Химик», который взял Константина для усиления.

В 1991 году, когда в стране началась разруха, а на хоккей всем стало резко все равно, Курашов после разговора с Игорем Дмитриевым уехал в Австрию в поисках лучшей жизни. Закончил там игровую карьеру в 1997-м году и перебрался в Швейцарию, где начал работать тренером. В системе «Давоса» Константин трудился восемь лет. Потом был «Берн», «Лангнау», «Рапперсвилль». Константин Курашов индивидуально подготовил большое количество игроков НХЛ, в частности, таких защитников как Марк Штрайт, Янник Вебер, Роман Йоси и многих других.

В 2017 году Курашов работал ассистентом Сергея Зубова в «Сочи», а с 2018 по 2019 год возглавлял команду из швейцарского города Кур, выступающую во второй лиге. С 2019 года главный тренер СКА-Нева (Санкт-Петербург)

Сын Константина Курашова Филипп, тоже хоккеист, родился в Швейцарии, учился хоккею в «Берне». На юниорском уровне игрок демонстрировал хорошую результативность, в среднем набирая почти по два очка за игру по системе “гол + пас”. С 2016 года Курашов выступает в Главной юниорской лиге Квебека за команду «Квебек Ремпартс». Перспективный форвард был выбран «Чикаго» в четвертом раунде под общим номером 120 драфта НХЛ 2018 года.

Достижения на клубном уровне:

Третий призёр чемпионата СССР 1989, 1991

Обладатель Кубка Шпенглера 1983


Достижения на уровне сборной:

Третий призёр чемпионата Европы U18 1979

Чемпион мира U18 1980
Третий призёр чемпионата мира U20 1981
Участник чемпионата мира U20 1982

Чемпион зимней Спартакиады народов РСФСР 1978 (сборная Москвы)
Чемпион зимней Спартакиады народов СССР 1978 (сборная Москвы)

Чемпион зимней Универсиады 1985

В сезоне 1980/81 в основном составе не играл.

"Правильно писать фамилию через "е", это очень смешная история. Все время в школе моя фамилия писалась через "о", потому что так было удобней и так все слышали. А в 14 лет я впервые с юношеской командой московского "Динамо" отправился за границу в ГДР, и нужно было оформлять документы на выезд, заполнять анкеты. Через какое-то время приходит сообщение, что неправильно оформили документы, поскольку в них где-то пишется "о", где-то — "е", — рассказал в беседе с ТАСС Курашев-старший.

Получил гражданство Швейцарии в 2014 году.