Воспитанник СДЮШОР «Металлург» Магнитогорск, в хоккей начал играть с 5 лет. Сначала тренировался у Валерия Викторовича Картаева, потом у Сергея Аркадьевича Дёмина.

Двукратный чемпион мира — один раз среди юниоров (2001 год), один раз среди молодёжных команд (2003 год). На юниорском чемпионате мира играл в одном звене вместе с Ильёй Ковальчуком и Игорем Григоренко.

В 2002 году выбран «Оттавой Сенаторз» во втором круге драфта под 47-м номером.

Первый среди воспитанников школы «Металлурга» по количеству проведенных матчей.

Участник чемпионата мира 2003 года в составе сборной России (2 матча).

С 2001 года выступал за магнитогорский «Металлург». В сезоне 2006/07 сыграл 6 матчей за клуб НХЛ «Оттава Сенаторз», сделав одну результативную передачу.

12 мая 2011 года в четвертьфинале чемпионата мира в Словакии в игре против сборной Канады забросил одну из самых важных шайб в карьере. За 11 минут до конца третьего периода, когда сборная России играла в меньшинстве, Кайгородов подхватил шайбу в своей зоне в районе точки вбрасывания и, обыграв по пути двух соперников, вышел один на один с вратарем и сравнял счёт (1:1). Вскоре Илья Ковальчук забросил победную шайбу в ворота канадцев (Россия победила 2:1). Для Кайгородова эта шайба стала первой на «взрослых» чемпионатах мира. Сам Кайгородов после матча признался, что «наверное, шайбы красивее я до сих пор не забивал». Илья Ковальчук сказал, что вся скамейка запасных сборной России кричала Кайгородову, чтобы тот просто выбросил шайбу из зоны, а Алексей забросил «отличную шайбу».

3 ноября 2015 года подписал контракт с московским "Динамо" до конца сезона.

История контракта:
04.11.2015 – контракт на 1 год (переход в клуб в качестве свободного агента) 
11.12.2015 – расторжение контракта по взаимной договоренности с клубом. 

Игры:
12.11.2015 – Спартак – Динамо Москва (0:3) – 1-я игра за клуб.
14.11.2015 – Динамо Минск – Динамо Москва (1:2) – 450-я игра в КХЛ в карьере.
16.11.2015 – Торпедо – Динамо Москва (2:3 Б) – 700-я игра в рамках регулярных чемпионатов. 
01.12.2015 – Барыс – Динамо Москва (2:1 Б) – последняя игра за клуб.  

Шайбы, передачи, очки:
14.11.2015 – Динамо Минск – Динамо Москва (1:2) – единственная результативная передача за клуб/единственное очко за клуб.